Cho hàm số y= f( x) =ax4+ bx2+ c ( a> 0) có đồ thị (C), đồ thị hàm số y= f’(x). Đồ thị hàm số y= f( x) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?
A. 7 15
B. 8 15
C. 14 15
D. 16 15
Cho hàm số y=f( x) = ax3+ bx2+ cx+ d có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y= -9 tại điểm có hoành độ dương và đồ thị hàm số y= f’ ( x) cho bởi hình vẽ bên. Tìm phần nguyên của giá trị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?
A. 2.
B. 27.
C. 29.
D. 35.
Ta có đạo hàm : f’ (x) = 3ax2+ 2bx+ c.
Dựa vào đồ thị hàm số y= f’ ( x) ta thấy đồ thị hàm số y= f’ (x) đi qua 3 điểm
( -1; 0) ; (3; 0) ; (1; -4)
Thay tọa độ 3 điểm này vào hàm f’ ta tìm được: a= 1/3; b= -1; c= -3.
Suy ra: f’ (x) = x2-2x-3 và f(x) = 1/3.x3-x2-3x+d.
Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y= -9 tại điểm có hoành độ dương nên ta có:
F’(x) =0 khi và chỉ khi x=3 ( x= -1 bị loại vì âm)
Như vậy (C) đi qua điểm (3; -9) ta tìm được d=0.
Vậy hàm số đề bài cho là f(x) = 1/3.x3-x2-3x.
Xét phương trình trình hoành độ giao điểm và trục hoành:
. 1 3 x 3 - x 2 - 3 x = 0 ⇔ x = 0 ; x = 3 ± 3 5 2 S = ∫ 3 - 3 5 2 3 + 3 5 2 1 3 x 3 - x 2 - 3 x d x = 29 , 25
Chọn C.
Cho hàm số y = f x = a x 3 + b x 2 + c x + d a , b , c ∈ ℝ , a ≠ 0 có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y = f '(x) cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
A. S = 9
B. S = 5 4
C. S = 21 4
D. S = 27 4
Đáp án D
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ⇒ f ' x = 3 x 2 - 1
Khi đó f x = ∫ f ' x d x = x 3 - 3 x + C .
Điều kiện đồ thị hàm số f(x) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 là:
f x = 4 f x = 0 ⇒ x 3 - 3 x + C = 4 3 x 2 - 1 = 0 ⇔ x = - 1 C = 2 (Do x < 0 suy ra f x = x 3 - 3 x + 2 C
Cho C ∩ O x ⇒ hoành độ các giao điểm là x = -2,x = 1
Khi đó S = ∫ - 2 1 x 3 - 3 x + 2 d x = 27 4 .
Biết đồ thị hàm số f ( x ) = a x 4 + b x 2 + c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Gọi S 1 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số f ( x ) nằm dưới trục hoành. Gọi S 2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số f ( x ) nằm phía trên trục hoành. Cho biết 5 b 2 = 36 a c . Tính tỉ số S 1 S 2
A. S 1 S 2 = 2 .
B. S 1 S 2 = 1 4 .
C. S 1 S 2 = 1 2 .
D. S 1 S 2 = 1 .
Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f ( x ) và Ox: a x 4 + b x 2 + c = 0 .
Để phương trình có bốn nghiệm
Gọi x 1 , x 2 , x 3 , x 4 lần lượt là bốn nghiệm của phương trình a x 4 + b x 2 + c = 0 và x 1 < x 2 < x 3 < x 4 . Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0 .
Khi đó
Suy ra x 1 = - - 5 b 6 a ; x 2 = - - b 6 a ; x 3 = - b 6 a ; x 4 = - b 6 a .
Do đồ thị hàm số f ( x ) nhận trục tung làm trục đối xứng nên ta có:
Suy ra
Vậy S 1 = S 2 hay S 1 S 2 = 1 .
Biết đồ thị hàm số f x = a x 4 + b x 2 + c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Gọi S 1 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số f(x) nằm dưới trục hoành. Gọi S 2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số f(x) nằm phía trên trục hoành. Cho biết 5 b 2 = 36 a c . Tính tỉ số S 1 S 2
A. S 1 S 2 = 2
B. S 1 S 2 = 1 4
C. S 1 S 2 = 1 2
D. S 1 S 2 = 1
Biết đồ thị hàm số f x = a x 4 + b x 2 + c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Gọi S 1 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số f(x) nằm dưới trục hoành. Gọi S 2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số f(x) nằm phía trên trục hoành. Cho biết 5 b 2 = 36 a c . Tính tỉ số S 1 S 2
A. S 1 S 2 = 2
B. S 1 S 2 = 1 4
C. S 1 S 2 = 1 2
D. S 1 S 2 = 1
Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f(x) và Ox: a x 4 + b x 2 + c = 0 .
Để phương trình có bốn nghiệm
⇔ b 2 − 4 a c > 0 − b a > 0 c a > 0 ⇔ b 2 − 5 9 b 2 > 0 − b a > 0 c a > 0 ⇔ b ≠ 0 − b a > 0 c a > 0
Gọi x 1 , x 2 , x 3 , x 4 lần lượt là bốn nghiệm của phương trình a x 4 + b x 2 + c = 0 và x 1 < x 2 < x 3 < x 4 . Không mất tính tổng quát, giả sử a>0.
Khi đó x 2 = − b + 2 b 3 2 a = − b 6 a x 2 = − b − 2 b 3 2 a = − 5 b 6 a , b < 0 .
Suy ra
x 1 = − − 5 b 6 a ; x 2 = − − b 6 a ; x 3 = − b 6 a ; x 4 = − 5 b 6 a
Do đồ thị hàm số f(x) nhận trục tung làm trục đối xứng nên ta có:
S 1 = ∫ x 1 x 2 f x d x + ∫ x 3 x 4 f x d x = − 2 ∫ x 3 x 4 f x d x = − 2 ∫ x 3 x 4 a x 4 + b x 2 + c d x
= − 2 a x 5 5 + b x 3 3 + c x x 4 x 3 = 2 a x 3 5 5 + b x 3 3 3 + c x 3 − 2 a x 4 5 5 + b x 4 3 3 + c x 4 .
S 2 = ∫ x 2 x 3 f x d x = 2 ∫ 0 x 3 f x d x = 2 ∫ 0 x 3 a x 4 + b x 2 + c d x = 2 a x 5 5 + b x 3 3 + c x x 3 0
= 2 a x 3 5 5 + 2 b x 3 3 3 + 2 c x 3 .
Suy ra
S 2 − S 1 = 2 a x 4 5 5 + 2 a x 4 3 3 + 2 c x 4 = 2 a 5 − 5 b 6 a 5 + 2 b 3 − 5 b 6 a 3 + 2 c − 5 b 6 a
= 2 a 5 . 25 b 2 36 a 2 − 5 b 6 a − 2 b 3 . 5 b 6 a − 5 b 6 a + 2 c − 5 b 6 a = − 5 b 6 a 5 b 2 18 a − 5 b 2 9 a + 2 c
= − 5 b 6 a . − 5 b 2 + 36 a c 18 a = 0
Vậy S 1 = S 2 hay S 1 S 2 = 1 .
Cho hàm số y = f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y= 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số Ox cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành xung quanh trục hoành Ox.
D. Đáp án khác
Cho hàm số y=f(x)= a x 3 + b x 2 + c x + d , ( a , b , c , d ∈ R , a khác 0) có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y= f ' ( x ) cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H giời hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành xung quanh trục hoành Ox
Cho hai hàm số f ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e với a ≠ 0 và g(x)= p x 2 + q x - 3 c ó đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm số y=f(x) đi qua gốc tọa độ và cắt đồ thị hàm số y=g(x) tại bốn điểm có hoành độ lần lượt là -2;-1;1 và m. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)-g(x) tại điểm có hoành độ x=-2 có hệ số góc bằng -15/2. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=f(x) và y=g(x) (phần được tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình (H) bằng
A. 1553 120
B. 1553 240
C. 1553 60
D. 1553 30
Cho hàm số y = a x 4 + b x 2 + c có đồ thị (C) biết rằng (C) đi qua điểm A(-1;0) tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x=0; x=2 có diện tích bằng 28/5 (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x=-1; x = 0 có diện tích bằng:
A. 2/5
B. 1/9
C. 2/9
D. 1/5